incluant une véridique histoire des nombres «de Queneau» Michèle Audin

Michèle Audin

Le Docteur Prompt écrit la permutation 615243 en colonnes. Et puis il généralise, écrivant les tableaux des permutations spirales (c’est ce qu’il appelle des sextines, aucune « spirale » n’est mentionnée) pour les nombres de 1 à 16. Voici une copie des premiers de ces tableaux.



Chaque tableau représente un poème. Dans un tableau, une ligne verticale représente les mots-rimes d’une strophe donnée. Le tableau s’arrête avant qu’une colonne en soit répétée.
Prompt a constaté que certains de ces tableaux sont carrés et d’autres pas. Les tableaux carrés correspondent aux cas où la permutation de n mots utilisée est d’ordre n, ce sont nos « nombres de Queneau ».

Il remarque aussi (mais sait-il le démontrer ? ceci n’est pas clair) que si n et 2n + 1 sont tous les deux premiers, alors le tableau est carré, un théorème dont l’énoncé est connu de tous les oulipiens (le « si, alors » n’est pas une équivalence – comme chacun sait, 6 n’est pas un nombre premier et c’est un nombre de Queneau).

Et puis il s’occupe de décomposer en produit de cycles les « sextines » non carrées. Il s’intéresse particulièrement aux décompositions en cycles des « sextines » d’ordre une puissance de 2, qui, comme le savent certainement quelques oulipiens, ne sont jamais des nombres de Queneau (démonstration ci-dessous). Ce qui le rapproche du théorème de Fermat.

Eh oui ! Car il y a plusieurs théorèmes de Fermat ! Celui dont il est question dans la brochure de Prompt n’est pas le fameux xn + yn = zn mais celui qui dit que les nombres de la forme 2 à une puissance une puissance de 2 plus 1 sont des nombres premiers. Ce théorème est faux (ce n’est donc pas un théorème), parce que, si les premiers nombres 3, 5, 17 257 et 65 537 (obtenus en ajoutant 1 à 2 à la puissance 20, 21, 22, 23, 24) sont bien premiers, le suivant, 4 294 967 297, ne l’est clairement pas (il est divisible par 641), comme Euler l’a démontré. Grâce à ses « sextines », Prompt est capable de décomposer en facteurs premiers un nombre de Fermat non premier.

Je ne sais pas si ce que le Docteur Prompt a écrit sur Dante est plus intéressant que ses considérations mathématiques, mais je retiendrai :
- qu’il a inventé les permutations spirales et les nombres de Queneau au temps où celui-ci était encore dans les langes chez sa mère mercière
- que c’était un authentique amateur de disparate…

    deux raisons de l’ajouter à notre liste de plagiaires par anticipation.

    Pour conclure et répondre à la question que vous vous êtes toutes posée, non, 7115 n’est pas un nombre de Queneau (14 231 est évidemment divisible par 7).

    suite à droite
    $ \to $

    Démonstration de la propriété ci-dessus : dans une sextine à strophes de 2k vers, le mot rime qui est à la position 1 dans la première strophe est à la position 2 dans la deuxième, 4 dans la troisième, 8 dans la quatrième, etc. dans la (k+1)-ième strophe, il est dans la position 2k, c’est-à-dire la dernière. Dans la strophe suivante il est redevenu premier. Ainsi il n’occupe jamais, par exemple, la position 3. Donc les puissances de 2 (sauf 2) ne sont jamais des nombres de Queneau.