Toutes les quenines se plongent dans des nonines. Plus ou moins grandes. C’est-à-dire : étant donnée une quintine, ou une sextine, ou une neuvine (ou etc.) déjà écrite, on peut écrire un nouveau poème de forme nonine qui contient cette quintine (ou sextine, ou neuvine, ou etc.-ine). Par exemple(s), la quintine de IM qui est englobée dans la seizine de MA ou la sextine d’Arnaut Daniel dans la trendeuzine de IM.
Qulles nonine pour quelle quenine ? voilà la question. Ici, nous cherchons les nonines « les plus petites » dans lesquelles se plonge une quenine donnée. Il faut des strophes de quinze ou seize vers pour absorber une quintine, de trente et un ou trente-deux pour une sextine, mais il « suffit » de strophes de vingt-huit vers pour une neuvine.
Ceci est encore une rédaction de réflexions, observations, conjectures, calculs et démonstrations obtenus par Laura Monk, IM et MA. Les petits exemples se trouvent aussi dans la « liste des petits nombres ».
Commençons par un résumé de ce que nous savons de plus général.
Soit k un nombre de Queneau.
- Si k est pair (plus grand que ou égal à 6), la (5 k + 2)-ine est d’ordre k et l’orbite de 5 est une k-ine.
Exemples. Sextine dans 32-ine, 14-ine dans 72-ine, 18-ine dans 92-ine, 26/132, 30/152, 50/252, 74/372, 86/432,…
Vérifié jusqu’à 86 (page en travaux, une démonstration générale est à prévoir).
- Si k est impair et congru à 1 modulo 4 (le reste de k dans la division par 4 est 1), la (3 k + 1)-ine est d’ordre k et l’orbite de 3 est une k-ine.
Exemples. Quintine dans 16-ine, 9/28, 29/88, 33/100, 41/124, 53/160, 65/196,…
Vérifié beaucoup plus loin (démonstration en cours).
- Si k est impair et congru à 3 modulo 4 (k - 3 est divisible par 4), l’orbite de (2k - 1)/(2 k +1) est une k-ine dans la (2k - 1 - 1)-ine (qui est d’ordre k).
Exemples. Onzine dans millevingttroisine, vingttroisine dans quatremillioncentquatrevingtquatorzemilletroiscenttroisine,…
Toujours vrai.
Si n est plus grand que 2k - 1, l’ordre de la n-ine est plus grand que k. Donc, la 2k - 1-ine est la dernière à contenir une k-ine (simple).
Voici maintenant des détails.
1. Dans les puissances de 2 (ou presque).
Comme l’illustre le poème de IM (et celui de MA) il y a une quintine dans toute seizine et, comme le montre la trentedeuzine de IM, il y a une sextine dans toute trentedeuzine. C’est un fait général.
Il y a (k - 1)! permutations circulaires de k éléments. Les 2k - 1-ines et les (2k -1- 1)-ines sont d’ordre k, il y a donc moins de 2k - 1/k cycles d’ordre k dans ces permutations. On est loin de (k - 1)! Par exemple, seuls 2,7% des permutations circulaires de onze éléments peuvent apparaître dans la décomposition en cycles de la 1023-ine. La présence systématique d’une k-ine dans une 2k - 1-ine ou dans une (2k -1- 1)-ine ne peut être l’effet du hasard…
Soit toujours k notre nombre de Queneau. On démontre sans mal que
- si k n’est pas congru à 3 modulo 4, 2k + 1 est divisible par 2 k + 1, et
- si k est congru à 3 modulo 4, 2k - 1 est divisible par 2 k + 1.
Appelons m le quotient, c’est-à-dire
m = (2k + 1)/(2 k +1) dans le premier cas et m = (2k - 1)/(2 k +1) dans le deuxième.
Alors l’orbite de m dans la nonine (2k - 1-ine dans le premier cas, (2k -1 - 1)-ine dans le deuxième) est une k-ine, simplement parce qu’elle est l’image de l’orbite de 1 dans la k-ine par la multiplication par m.
Il reste à vérifier que le cycle du même m dans « l’autre » nonine est aussi une k-ine (en cours).
2. Pour faire plus petit que les puissances de 2.
Ce que l’on peut rêver de plus petit, c’est que la nonine cherchée soit telle que l’orbite de 3 y soit une k-ine. Puis, la même chose avec l’orbite de 5.
On applique la multiplication par 3 à l’orbite de 1 dans la k-ine :
(1,2,4,…,k) $\mapsto$ (3,6,12,…,3 k)
… et ceci est bien une k-ine dans une (3 k + 1)-ine. Mais nous voulons une k-ine non répétée, c’est-à-dire que nous voulons que cette (3 k + 1)-ine soit d’ordre exactement k. La présence de ladite orbite garantit que cet ordre est un multiple de k, mais rien de plus. Par exemple, avec k = 11, la trentecatherine est d’ordre 22 et la onzine y est donc répétée.
Après observation de nombreux exemples, il semble que (et il reste à démontrer que), si k est 1 modulo 4, alors la (3 k + 1)-ine est bien d’ordre k et contient donc une k-ine non répétée.
Avec la multiplication par 5,
(1,2,4,…,k) $\mapsto$ (5,10,20,…,5 k)
on obtient une k-ine dans une (5 k + 2)-ine. La question de l’ordre de cette permutation spirale est donc posée. La présence de cette orbite implique que cet ordre est un multiple de k. Mais nous savons aussi qu’il y a un cycle d’ordre 2 (voir « références », note (64)). Donc, si k est impair, l’ordre de la (5 k + 2)-ine est un multiple de 2 k et la k-ine est répétée. Pour qu’elle ne le soit pas, il faut que k soit pair.
L’observation des petites valeurs de k indique que les nombres pairs donnent bien des k-ines non répétées. Plus précisément, il semble que la décomposition en cycles de la (5 k + 2)-ine soit
- si k est pair, 5 k + 2 = k + … + k + 2 (cinq cycles d’ordre k),
- si k est impair, 5 k + 2 = 4k + k + 2.
Qulles nonine pour quelle quenine ? voilà la question. Ici, nous cherchons les nonines « les plus petites » dans lesquelles se plonge une quenine donnée. Il faut des strophes de quinze ou seize vers pour absorber une quintine, de trente et un ou trente-deux pour une sextine, mais il « suffit » de strophes de vingt-huit vers pour une neuvine.
Ceci est encore une rédaction de réflexions, observations, conjectures, calculs et démonstrations obtenus par Laura Monk, IM et MA. Les petits exemples se trouvent aussi dans la « liste des petits nombres ».
Commençons par un résumé de ce que nous savons de plus général.
Soit k un nombre de Queneau.
- Si k est pair (plus grand que ou égal à 6), la (5 k + 2)-ine est d’ordre k et l’orbite de 5 est une k-ine.
Exemples. Sextine dans 32-ine, 14-ine dans 72-ine, 18-ine dans 92-ine, 26/132, 30/152, 50/252, 74/372, 86/432,…
Vérifié jusqu’à 86 (page en travaux, une démonstration générale est à prévoir).
- Si k est impair et congru à 1 modulo 4 (le reste de k dans la division par 4 est 1), la (3 k + 1)-ine est d’ordre k et l’orbite de 3 est une k-ine.
Exemples. Quintine dans 16-ine, 9/28, 29/88, 33/100, 41/124, 53/160, 65/196,…
Vérifié beaucoup plus loin (démonstration en cours).
- Si k est impair et congru à 3 modulo 4 (k - 3 est divisible par 4), l’orbite de (2k - 1)/(2 k +1) est une k-ine dans la (2k - 1 - 1)-ine (qui est d’ordre k).
Exemples. Onzine dans millevingttroisine, vingttroisine dans quatremillioncentquatrevingtquatorzemilletroiscenttroisine,…
Toujours vrai.
Si n est plus grand que 2k - 1, l’ordre de la n-ine est plus grand que k. Donc, la 2k - 1-ine est la dernière à contenir une k-ine (simple).
Voici maintenant des détails.
1. Dans les puissances de 2 (ou presque).
Comme l’illustre le poème de IM (et celui de MA) il y a une quintine dans toute seizine et, comme le montre la trentedeuzine de IM, il y a une sextine dans toute trentedeuzine. C’est un fait général.
Il y a (k - 1)! permutations circulaires de k éléments. Les 2k - 1-ines et les (2k -1- 1)-ines sont d’ordre k, il y a donc moins de 2k - 1/k cycles d’ordre k dans ces permutations. On est loin de (k - 1)! Par exemple, seuls 2,7% des permutations circulaires de onze éléments peuvent apparaître dans la décomposition en cycles de la 1023-ine. La présence systématique d’une k-ine dans une 2k - 1-ine ou dans une (2k -1- 1)-ine ne peut être l’effet du hasard…
Soit toujours k notre nombre de Queneau. On démontre sans mal que
- si k n’est pas congru à 3 modulo 4, 2k + 1 est divisible par 2 k + 1, et
- si k est congru à 3 modulo 4, 2k - 1 est divisible par 2 k + 1.
Appelons m le quotient, c’est-à-dire
m = (2k + 1)/(2 k +1) dans le premier cas et m = (2k - 1)/(2 k +1) dans le deuxième.
Alors l’orbite de m dans la nonine (2k - 1-ine dans le premier cas, (2k -1 - 1)-ine dans le deuxième) est une k-ine, simplement parce qu’elle est l’image de l’orbite de 1 dans la k-ine par la multiplication par m.
Il reste à vérifier que le cycle du même m dans « l’autre » nonine est aussi une k-ine (en cours).
2. Pour faire plus petit que les puissances de 2.
Ce que l’on peut rêver de plus petit, c’est que la nonine cherchée soit telle que l’orbite de 3 y soit une k-ine. Puis, la même chose avec l’orbite de 5.
On applique la multiplication par 3 à l’orbite de 1 dans la k-ine :
(1,2,4,…,k) $\mapsto$ (3,6,12,…,3 k)
… et ceci est bien une k-ine dans une (3 k + 1)-ine. Mais nous voulons une k-ine non répétée, c’est-à-dire que nous voulons que cette (3 k + 1)-ine soit d’ordre exactement k. La présence de ladite orbite garantit que cet ordre est un multiple de k, mais rien de plus. Par exemple, avec k = 11, la trentecatherine est d’ordre 22 et la onzine y est donc répétée.
Après observation de nombreux exemples, il semble que (et il reste à démontrer que), si k est 1 modulo 4, alors la (3 k + 1)-ine est bien d’ordre k et contient donc une k-ine non répétée.
Avec la multiplication par 5,
(1,2,4,…,k) $\mapsto$ (5,10,20,…,5 k)
on obtient une k-ine dans une (5 k + 2)-ine. La question de l’ordre de cette permutation spirale est donc posée. La présence de cette orbite implique que cet ordre est un multiple de k. Mais nous savons aussi qu’il y a un cycle d’ordre 2 (voir « références », note (64)). Donc, si k est impair, l’ordre de la (5 k + 2)-ine est un multiple de 2 k et la k-ine est répétée. Pour qu’elle ne le soit pas, il faut que k soit pair.
L’observation des petites valeurs de k indique que les nombres pairs donnent bien des k-ines non répétées. Plus précisément, il semble que la décomposition en cycles de la (5 k + 2)-ine soit
- si k est pair, 5 k + 2 = k + … + k + 2 (cinq cycles d’ordre k),
- si k est impair, 5 k + 2 = 4k + k + 2.